阅读本文之前请确保你知道向量相乘内积的定义式的含义，公式如下：

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos<a⃗,b⃗>\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|cos\left< \vec a, \vec b \right> \\

公式证明

屏幕截图 2024-05-03 135605.png

对于ΔABC，不妨设BC=a,CA=b,AB=c,BC→=a⃗,CA→=b⃗,AB→=c⃗对于\Delta ABC，不妨设BC=a,CA=b,AB=c,\overrightarrow {BC}=\vec a,\overrightarrow {CA}=\vec b,\overrightarrow {AB}=\vec c

则由三角形面积公式：S=12bc⋅sinA则由三角形面积公式：S=\frac{1}{2}bc\sdot sinA

得S2=14b2c2⋅sin2A得S^2=\frac{1}{4}b^2c^2\sdot sin^2A

∴S2=14b2c2⋅(1−cos2A)\therefore S^2=\frac{1}{4}b^2c^2\sdot (1-cos^2A)

由内积定义式，有：cosA=(−b⃗)⋅c⃗∣−b⃗∣∣c⃗∣由内积定义式，有：cosA=\frac{(-\vec b)\sdot\vec c}{|-\vec b||\vec c|}

∵b⃗+c⃗=−a⃗\because \vec b+\vec c=-\vec a

∴(b⃗+c⃗)2=∣b⃗∣2+∣c⃗∣2+2b⃗⋅c⃗=∣a⃗∣2\therefore (\vec b+\vec c)^2=|\vec b|^2+|\vec c|^2+2\vec b\sdot\vec c=|\vec a|^2

∴b⃗⋅c⃗=12(a2−b2−c2)\therefore\vec b\sdot\vec c=\frac{1}{2}(a^2-b^2-c^2)

∴cos2A=(b⃗⋅c⃗)2∣b⃗∣2∣c⃗∣2=[12(a2−b2−c2)]2b2c2=b2+c2−a24b2c2\therefore cos^2A=\frac{(\vec b\sdot\vec c)^2}{|\vec b|^2|\vec c|^2}=\frac{[\frac{1}{2}(a^2-b^2-c^2)]^2}{b^2c^2}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4b^2c^2}

∴S2=14b2c2[1−(b2+c2−a2)24b2c2]\therefore S^2=\frac{1}{4}b^2c^2[1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}]

∴S2=116[4b2c2−(b2+c2−a2)2]\therefore S^2=\frac{1}{16}[4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2]

因式分解后得：S2=116(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)因式分解后得：S^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

我们设a+b+c=2p,则p=12(a+b+c)我们设a+b+c=2p,则p=\frac{1}{2}(a+b+c)

那么S2=p(p−a)(p−b)(p−c)那么S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)\therefore S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

证明完毕.

结论

对于任意一个给定三边长度$a,b,c$的三角形其面积都可以用以下公式求解:

S=p(p−a)(p−b)(p−c),其中p=12(a+b+c) S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},其中p=\frac{1}{2}(a+b+c)

注：p其实就是半周长，可以表示为：

p=C2p=\frac{C}{2}