“秦九韶—海伦公式”的向量法证明

公式证明：#

对于$\Delta ABC$，不妨设$BC=a,CA=b,AB=c,\overrightarrow {BC}=\vec a,\overrightarrow {CA}=\vec b,\overrightarrow {AB}=\vec c$

则由三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}bc\sdot sinA$

得$S^2=\frac{1}{4}b^2c^2\sdot sin^2A$

$\therefore S^2=\frac{1}{4}b^2c^2\sdot (1-cos^2A)$

由内积定义式，有：$cosA=\frac{(-\vec b)\sdot\vec c}{|-\vec b||\vec c|}$

$\because \vec b+\vec c=-\vec a$

$\therefore (\vec b+\vec c)^2=|\vec b|^2+|\vec c|^2+2\vec b\sdot\vec c=|\vec a|^2$

$\therefore\vec b\sdot\vec c=\frac{1}{2}(a^2-b^2-c^2)$

$\therefore cos^2A=\frac{(\vec b\sdot\vec c)^2}{|\vec b|^2|\vec c|^2}=\frac{[\frac{1}{2}(a^2-b^2-c^2)]^2}{b^2c^2}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4b^2c^2}$

$\therefore S^2=\frac{1}{4}b^2c^2[1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}]$

$\therefore S^2=\frac{1}{16}[4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2]$

因式分解后得：$S^2=\frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

我们设$a+b+c=2p$,则$p=\frac{1}{2}(a+b+c)$

那么$S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$

$\therefore S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

证明完毕.

结论#

对于任意一个给定三边长度$a,b,c$的三角形其面积都可以用以下公式求解:

注：p其实就是半周长，可以表示为$p=\frac{1}{2}C$